Negeri-negeri teorem Pythagoras bahawa jumlah kuasa dua pada kaki segi tiga tepat adalah sama dengan segi empat sama pada hipotenus (seberang sudut yang tepat) -dalam notasi algebra biasa, yang 2 + b 2 = c 2. Maka orang Babel dan orang Mesir telah menemui beberapa bilangan bulat tiga ( a , b , c ) yang memuaskan hubungan. Pythagoras (sekitar 580-c. 500 SM) atau salah seorang pengikutnya mungkin yang pertama membuktikan teorema yang menanggung namanya. Euclid (sekitar 300 bc) menawarkan demonstrasi pintar teorema Pythagoras dalam Elemen - elemennya , yang dikenali sebagai bukti Kincir Angin dari bentuk sosok itu.
- Menarik dataran di sisi yang betul Δ A B C .
- B C H dan A C K adalah garis lurus kerana ∠ A C B = 90 °.
- ∠ E A B = ∠ C A I = 90 °, dengan pembinaan.
- ∠ B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , dengan 3.
- A C = A I dan A B = A E , mengikut pembinaan.
- Oleh itu, Δ B A I ≅ Δ E A C , oleh teorema sudut-sisi-sisi (lihat Sidebar: Jambatan Asses), seperti yang disorot pada bahagian (a) gambar.
- Menarik C F selari dengan B D .
- Rectangle A G F E = 2Δ A C E . Hasil yang luar biasa ini berasal dari dua teorema pendahuluan: (a) luas semua segitiga di pangkalan yang sama, yang bucu ketiga terletak di mana sahaja pada garis lurus tanpa batas selari dengan pangkalan, adalah sama; dan (b) luas segitiga adalah separuh dari segiempat sama (termasuk segi empat sama) dengan dasar dan ketinggian yang sama.
- Square A I H C = 2Δ B A I , dengan teorema parallelogram yang sama seperti pada langkah 8.
- Oleh itu, segi empat tepat A G F E = persegi A I H C , dengan langkah 6, 8, dan 9.
- ∠ D B C = ∠ A B J , seperti dalam langkah 3 dan 4.
- B C = B J dan B D = A B , mengikut pembinaan seperti pada langkah 5.
- Δ C B D ≅ Δ J B A , seperti pada langkah 6 dan diserlahkan di bahagian (b) gambar.
- Segi empat tepat B D F G = 2Δ C B D , seperti pada langkah 8.
- Petak C K J B = 2Δ J B A , seperti pada langkah 9.
- Oleh itu, segi empat tepat B D F G = segiempat sama C K J B , seperti pada langkah 10.
- Square A B D E = rectangle A G F E + rectangle B D F G , dengan pembinaan.
- Oleh itu, segi empat sama A B D E = persegi A I H C + persegi C K J B , dengan langkah 10 dan 16.
Buku pertama Euclid's Elementsbermula dengan definisi titik dan diakhiri dengan teorema Pythagoras dan sebaliknya (jika jumlah petak di dua sisi segitiga sama dengan segi empat di sisi ketiga, ia mestilah segitiga tepat). Perjalanan dari definisi tertentu ke pernyataan matematik abstrak dan universal telah diambil sebagai lambang perkembangan kehidupan beradab. Contoh yang mencolok mengenai pengenalpastian penaakulan Euclid dengan ekspresi pemikiran tertinggi adalah cadangan yang dibuat pada tahun 1821 oleh seorang ahli fizik dan ahli astronomi Jerman untuk membuka perbualan dengan penduduk Mars dengan menunjukkan kepada mereka tuntutan kita terhadap kematangan intelektual. Apa yang perlu kita lakukan untuk menarik minat dan persetujuan mereka, menurutnya, adalah membajak dan menanam ladang besar dalam bentuk gambar rajah kincir angin atau, seperti yang dicadangkan orang lain,untuk menggali kanal yang menunjukkan teorema Pythagoras di Siberia atau Sahara, mengisinya dengan minyak, membakarnya, dan menunggu tindak balas. Percubaan belum dicuba, sehingga tidak membuat keputusan sama ada penduduk Mars tidak mempunyai teleskop, tidak ada geometri, atau tidak ada.
