Geometri yang segera mengikuti Pythagoras (sekitar 580-c. 500 bc) berkongsi intuisi yang tidak berasas bahawa dua panjangnya "sepadan" (iaitu, dapat diukur) dengan gandaan bilangan bulat dari beberapa unit biasa. Dengan kata lain, mereka percaya bahawa keseluruhan (atau menghitung) nombor, dan nisbahnya (bilangan rasional atau pecahan), cukup untuk menggambarkan kuantiti apa pun. Oleh itu, geometri mudah digabungkan dengan kepercayaan Pythagoras, yang prinsipnya paling penting ialah kenyataannya pada dasarnya adalah matematik dan berdasarkan nombor bulat. Yang sangat relevan adalah manipulasi nisbah, yang pada awalnya berlaku sesuai dengan peraturan yang disahkan oleh aritmetik. Penemuan surds (akar kuasa dua nombor yang tidak kuasa dua) oleh itu menjejaskan Pythagoras: tidak lagi boleh a : b =c : d (di mana a dan b , katakan, relatif prima) menyiratkan bahawa a = n c atau b = n d , di mana n adalah beberapa nombor bulat. Menurut legenda, penemu Pythagoras mengenai jumlah yang tidak dapat dikira, yang sekarang dikenali sebagai bilangan tidak rasional, dibunuh oleh saudara-saudaranya. Tetapi sukar untuk menyimpan rahsia dalam sains.
Orang Yunani kuno tidak mempunyai angka aljabar atau Hindu-Arab. Geometri Yunani didasarkan hampir secara eksklusif pada penaakulan logik yang melibatkan gambarajah abstrak. Oleh kerana itu, penemuan yang tidak dapat ditandingi tidak hanya mengganggu pengertian Pythagoras mengenai dunia; itu menyebabkan kebuntuan dalam penaakulan matematik - kebuntuan yang berlanjutan sehingga geometri waktu Plato memperkenalkan definisi perkadaran (nisbah) yang menyumbang tidak dapat dikira. Ahli matematik utama yang terlibat adalah Theaetetus Athena (c. 417–369 SM), kepada siapa Plato mendedikasikan keseluruhan dialog, dan Eudoxus Cnidus yang hebat (sekitar 390 – c. 340 SM), yang perlakuannya yang tidak dapat diterima bertahan sebagai Buku V of Euclid Elements .
Euclid memberikan bukti mudah berikut. Segi empat sama dengan sisi panjang 1 unit mesti, menurut teorema Pythagoras, mempunyai pepenjuru d yang memenuhi persamaan d 2 = 12 + 12 = 2. Biarkan, sesuai dengan jangkaan Pythagoras, bahawa pepenjuru dapat dinyatakan sebagai nisbah dua bilangan bulat, katakanlah p dan q , dan p dan q relatif prima, dengan p > q — dengan kata lain, bahawa nisbah tersebut telah dikurangkan menjadi bentuknya yang paling sederhana. Oleh itu p 2 / q 2 = 2. Kemudian p 2 = 2 q 2, jadi pmesti nombor genap, katakan 2 r . Memasukkan 2 r untuk p dalam persamaan terakhir dan menyederhanakan, kita memperoleh q 2 = 2 r 2, di mana q juga harus sama rata, yang bertentangan dengan anggapan bahawa p dan q tidak mempunyai faktor bersama selain kesatuan. Oleh itu, tidak ada nisbah bilangan bulat — iaitu, tidak ada “nombor rasional” menurut terminologi Yunani — yang dapat menyatakan punca kuasa dua dari 2. Panjang sehingga kotak yang terbentuk di atasnya tidak sama dengan nombor persegi (mis., Akar Persegi √ 2 , Akar kuadrat √ 3, Akar persegi √ 5, Akar persegi √ 6,…) dipanggil "nombor tidak rasional."
