Metalogik , kajian dan analisis semantik (hubungan antara ungkapan dan makna) dan sintaks (hubungan antara ungkapan) bahasa formal dan sistem formal. Ini berkaitan dengan, tetapi tidak termasuk, perlakuan formal terhadap bahasa semula jadi. (Untuk perbincangan mengenai sintaks dan semantik bahasa semula jadi, lihat linguistik dan semantik.)
Alam, asal usul, dan pengaruh metalogik
Sintaks dan semantik
Bahasa formal biasanya memerlukan satu set peraturan pembentukan - iaitu, spesifikasi lengkap dari jenis ungkapan yang akan dikira sebagai formula yang terbentuk dengan baik (ayat atau ungkapan yang bermakna), yang berlaku secara mekanik, dalam arti mesin dapat memeriksa apakah calon memenuhi syarat. Spesifikasi ini biasanya mengandungi tiga bahagian: (1) senarai simbol primitif (unit asas) yang diberikan secara mekanis, (2) kombinasi simbol-simbol tertentu, yang dipilih secara mekanis sebagai membentuk ayat (atom) sederhana, dan (3) satu set klausa induktif - induktif selagi mereka menetapkan bahawa kombinasi semula jadi ayat yang dibentuk oleh penghubung logik seperti gangguan "atau," yang dilambangkan "∨"; "Tidak," dilambangkan "∼"; dan "untuk semua," dilambangkan "(∀)," sekali lagi adalah ayat. ["(∀)" disebut pengukur,seperti juga "ada beberapa," dilambangkan "(∃)".] Oleh kerana spesifikasi ini hanya berkaitan dengan simbol dan kombinasinya dan bukan dengan makna, mereka hanya melibatkan sintaks bahasa.
Tafsiran bahasa formal ditentukan dengan merumuskan tafsiran kalimat atom bahasa berkenaan dengan domain objek-yaitu, dengan menetapkan objek domain mana yang dilambangkan oleh pemalar bahasa mana dan hubungan dan fungsi mana dilambangkan dengan huruf predikat dan simbol fungsi. Nilai kebenaran (sama ada "benar" atau "salah") setiap kalimat ditentukan mengikut tafsiran standard penghubung logik. Sebagai contoh, p · q adalah benar jika dan hanya jika p dan qbetul. (Di sini, titik bermaksud penghubung "dan," bukan operasi pendaraban "kali.") Oleh itu, jika diberikan penafsiran mengenai bahasa formal, konsep kebenaran formal diperolehi. Kebenaran, makna, dan denotasi adalah konsep semantik.
Jika, sebagai tambahan, sistem formal dalam bahasa formal diperkenalkan, konsep sintaksis tertentu muncul — yaitu, aksioma, aturan inferensi, dan teorema. Ayat tertentu digambarkan sebagai aksioma. Ini adalah (asas) teorema. Setiap peraturan inferensi adalah klausa induktif, yang menyatakan bahawa, jika ayat tertentu adalah teorema, maka ayat lain yang berkaitan dengannya dengan cara yang sesuai juga merupakan teorema. Jika p dan “not- p atau q ” (∼ p ∨ q ) adalah teorema, misalnya, maka q adalah teorema. Secara umum, teorema adalah aksioma atau kesimpulan peraturan kesimpulan yang premisnya adalah teorema.
Pada tahun 1931, Kurt Gödel membuat penemuan mendasar bahawa, dalam kebanyakan sistem formal yang menarik (atau penting), tidak semua ayat benar adalah teorema. Dari temuan ini, semantik tidak dapat dikurangkan menjadi sintaksis; oleh itu sintaks, yang berkait rapat dengan teori bukti, sering harus dibezakan dari semantik, yang berkait rapat dengan teori model. Secara kasarnya, sintaks - seperti yang difahami dalam falsafah matematik - adalah cabang teori nombor, dan semantik adalah cabang teori set, yang berkaitan dengan sifat dan hubungan agregat.
Dari segi sejarah, ketika sistem logik dan aksiomatik menjadi semakin tepat, muncul, sebagai tindak balas kepada keinginan untuk mendapatkan kejelasan yang lebih besar, kecenderungan untuk memberi perhatian lebih kepada ciri-ciri sintaksis bahasa yang digunakan daripada memusatkan perhatian secara eksklusif pada makna intuitif. Dengan cara ini, logik, kaedah aksiomatik (seperti yang digunakan dalam geometri), dan semiotik (sains umum tanda-tanda) bersatu ke arah metalogik.
Kaedah aksiomatik
Sistem aksiomatik yang paling terkenal adalah sistem Euclid untuk geometri. Dengan cara yang serupa dengan Euclid, setiap teori saintifik melibatkan sekumpulan konsep yang bermakna dan kumpulan penegasan yang benar atau dipercayai. Makna konsep sering dapat dijelaskan atau ditakrifkan dari segi konsep lain, dan, serupa, kebenaran penegasan atau alasan untuk mempercayainya biasanya dapat dijelaskan dengan menunjukkan bahawa ia dapat disimpulkan dari pernyataan lain yang sudah diterima. Kaedah aksiomatik berjalan dalam urutan langkah, dimulai dengan sekumpulan konsep dan proposisi primitif dan kemudian menentukan atau menyimpulkan semua konsep dan cadangan lain dalam teori daripadanya.
Kesedaran yang timbul pada abad ke-19 bahawa terdapat kemungkinan berbagai geometri menyebabkan keinginan untuk memisahkan matematik abstrak dari intuisi spasial; akibatnya, banyak aksioma tersembunyi ditemui dalam geometri Euclid. Penemuan ini disusun ke dalam sistem aksiomatik yang lebih ketat oleh David Hilbert dalam Grundlagen der Geometrie (1899; The Foundations of Geometry ). Dalam sistem ini dan yang berkaitan, bagaimanapun, penghubung logik dan sifatnya dianggap tidak wajar dan tetap tersirat. Sekiranya logik yang terlibat dianggap seperti predikat kalkulus, maka logik kemudian dapat sampai pada sistem formal seperti yang dibincangkan di atas.
Setelah sistem formal seperti itu diperoleh, adalah mungkin untuk mengubah masalah semantik tertentu menjadi masalah sintaksis yang lebih tajam. Telah ditegaskan, misalnya, bahawa geometri bukan Euclidean mestilah sistem yang konsisten sendiri kerana mereka mempunyai model (atau interpretasi) dalam geometri Euclidean, yang pada gilirannya memiliki model dalam teori nombor nyata. Akan tetapi, kemudian dapat ditanyakan, bagaimana diketahui bahawa teori nombor nyata konsisten dalam arti tidak ada pertentangan yang dapat diturunkan di dalamnya. Jelas, pemodelan hanya dapat mewujudkan konsistensi relatif dan harus berhenti di suatu tempat. Akan tetapi, setelah mencapai sistem formal (katakanlah dengan bilangan sebenar), masalah konsistensi mempunyai fokus yang lebih tajam dari masalah sintaksis:bahawa mempertimbangkan semua bukti yang mungkin (sebagai objek sintaksis) dan bertanya sama ada salah satu dari mereka pernah (katakan) 0 = 1 sebagai ayat terakhir.
Sebagai contoh lain, persoalan sama ada sistem bersifat kategoris — iaitu, apakah ia menentukan intisari penafsiran yang unik dalam arti bahawa mana-mana dua tafsiran bersifat isomorfik — boleh diterokai. Soalan semantik ini sampai batas tertentu dapat diganti dengan pertanyaan sintaksis yang terkait, yaitu pertanyaan tentang kelengkapan: apakah ada dalam sistem ayat yang memiliki nilai kebenaran yang pasti dalam penafsiran yang dimaksudkan sehingga kalimat itu atau penolakannya tidak menjadi teorema. Walaupun sekarang diketahui bahawa konsep semantik dan sintaksisnya berbeza, syarat yang tidak jelas bahawa sistem "mencukupi" diperjelas oleh kedua konsep tersebut. Kajian mengenai pertanyaan sintaksis tajam seperti konsistensi dan kelengkapan, yang ditekankan oleh Hilbert, dinamakan "metamathematics" (atau "teori bukti") olehnya sekitar tahun 1920.
