Bukti formula Archimedes untuk kawasan dan jilid menetapkan standard untuk rawatan had yang ketat hingga zaman moden. Tetapi cara beliau mendapati keputusan ini kekal misteri sehingga tahun 1906, apabila suatu salinan risalah yang hilang Kaedah ditemui pada Constantinople (kini Istanbul, Turki).
Ternyata Archimedes telah menggunakan metode yang kemudian dikenal sebagai prinsip Cavalieri, yang melibatkan pemotongan padatan (yang isipadunya hendak dibandingkan) dengan keluarga pesawat selari. Khususnya, jika setiap satah dalam keluarga memotong dua pepejal menjadi keratan rentas yang sama luas, maka kedua-dua pepejal itu mesti mempunyai isipadu yang sama ( lihat gambar). Seseorang boleh menganggap pepejal sebagai jumlah bahagian seperti itu, yang disebut tidak terpisahkan. Archimedes sebenarnya menguraikan prinsip ini, tidak hanya membandingkan bahagian yang sesuai di daerah tetapi juga "menyeimbangkan" mereka dengan hukum tuas.
Idea pemotongan oleh pesawat selari ditemui semula di China, dan bukti yang lebih sederhana bahawa isipadu sfera adalah dua pertiga dari jumlah silinder yang dilampirkannya, dengan menggunakan kawasan sahaja, diberikan oleh Liu Hui pada iklan 263. Bukti utama bersama garis-garis ini diberikan oleh ahli matematik Itali Bonaventura Cavalieri dalam Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; "Kaedah Tertentu untuk Pengembangan Geometri Baru Indivisibles Berterusan"). Cavalieri memerhatikan apa yang berlaku apabila hemisfera dan silindernya yang dilekatkan dipotong oleh keluarga satah yang selari dengan pangkal silinder: setiap bahagian berbentuk cakera sfera mempunyai luas yang sama dengan bahagian anulus yang sesuai dari pelengkap kerucut di silinder ( lihatangka). Rumus untuk isipadu sfera segera mengikuti teorema Eudoxus bahawa isipadu kerucut adalah satu pertiga dari jumlah silindernya yang melekat.
